Задача №13570

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. ${\log }_{2}x>1$
2. ${\log }_{2}x<-1$
3. ${\log }_{2}x>-1$
4. ${\log }_{2}x<1$

Решения:
A. $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$
B. $(0;2)$
C. $\left(0;\frac{1}{2}\right)$
D. $(2;+\infty )$

Для решения данных неравенств необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ) аргумента логарифма: $x>0\text{.}$ Поскольку основание всех логарифмов равно $2\text{,}$ а $2>1\text{,}$ то логарифмическая функция $f(x)={\log }_{2}x$ является возрастающей. Это означает, что при переходе от сравнения логарифмов к сравнению их аргументов знак неравенства сохраняется.

1. ${\log }_{2}x>1\text{.}$ Так как $1={\log }_{2}2\text{,}$ неравенство принимает вид ${\log }_{2}x>{\log }_{2}2\text{.}$ Учитывая возрастание функции и ОДЗ, получаем $x>2\text{.}$ Решение: $(2;+\infty )\text{.}$ Это соответствует варианту D.

2. ${\log }_{2}x<-1\text{.}$ Так как $-1={\log }_2{2}^{-1}={\log }_2\frac{1}{2}\text{,}$ неравенство принимает вид ${\log }_{2}x<{\log }_2\frac{1}{2}\text{.}$ С учётом ОДЗ $x>0\text{,}$ получаем $0<x<\frac{1}{2}\text{.}$ Решение: $\left(0;\frac{1}{2}\right)\text{.}$ Это соответствует варианту C.

3. ${\log }_{2}x>-1\text{.}$ Аналогично, неравенство принимает вид ${\log }_{2}x>{\log }_2\frac{1}{2}\text{,}$ что даёт $x>\frac{1}{2}\text{.}$ Решение: $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)\text{.}$ Это соответствует варианту A.

4. ${\log }_{2}x<1\text{.}$ Неравенство принимает вид ${\log }_{2}x<{\log }_{2}2\text{.}$ С учётом ОДЗ $x>0\text{,}$ получаем $0<x<2\text{.}$ Решение: $(0;2)\text{.}$ Это соответствует варианту B.

Установим соответствие между буквенными обозначениями решений и номерами неравенств:

• Решению A соответствует неравенство 3;
• Решению B соответствует неравенство 4;
• Решению C соответствует неравенство 2;
• Решению D соответствует неравенство 1.

Записываем полученные цифры в порядке A, B, C, D: 3421.

Ответ: 3421