Задача №13568

Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений:

1. $\frac{(x-2{)}^2}{x-5}<0$
2. $2^{-x}<0,25$
3. ${\log }_{5}x>1$
4. $(x-2)(x-5)<0$

А. $x>2$
Б. $2<x<5$
В. $x>5$
Г. $x<2$ или $2<x<5$

Решим каждое неравенство и найдём соответствующее множество решений:

1) $\frac{(x-2{)}^2}{x-5}<0\text{.}$ Выражение $(x-2{)}^2$ всегда неотрицательно. Дробь будет отрицательна, если её знаменатель отрицателен, а числитель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x-5<0,\\ (x-2{)}^2\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<5,\\ x\ne 2.\end{array}$$

Получаем: $x<2$ или $2<x<5\text{.}$ Это соответствует варианту Г (номер 4).

2) $2^{-x}<0,25\text{.}$ Приведём обе части к основанию 2:

$$2^{-x}<2^{-2}.$$

Так как основание степени $2>1\text{,}$ знак неравенства для показателей сохраняется:

$$-x<-2\Rightarrow x>2.$$

Это соответствует варианту А (номер 1).

3) ${\log }_{5}x>1\text{.}$ Представим 1 как логарифм по основанию 5:

$${\log }_{5}x>{\log }_{5}5.$$

Так как основание логарифма $5>1\text{,}$ знак неравенства для аргументов сохраняется, при этом учитываем ОДЗ ($x>0$):

$$x>5.$$

Это соответствует варианту В (номер 3).

4) $(x-2)(x-5)<0\text{.}$ Решим неравенство методом интервалов. Корни множителей: $x=2$ и $x=5\text{.}$ Парабола, заданная выражением в левой части, направлена ветвями вверх, поэтому отрицательные значения она принимает между корнями:

$$2<x<5.$$

Это соответствует варианту Б (номер 2).

Сопоставим результаты:
1 — Г (4)
2 — А (1)
3 — В (3)
4 — Б (2)

Ответ: 4132