Задача №13559

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $(x-3)(x-6)<0$
2. $\frac{(x-6{)}^2}{x-3}>0$
3. $\frac{x-3}{x-6}>0$
4. $(x-3{)}^2(x-6)<0$

Решения:
A. $(3;6)$
B. $(-\infty ;3)\cup (6;+\infty )$
C. $(3;6)\cup (6;+\infty )$
D. $(-\infty ;3)\cup (3;6)$

Решим каждое неравенство методом интервалов или анализом знаков множителей.

1. $(x-3)(x-6)<0\text{.}$
Это квадратичное неравенство. Корнями соответствующего уравнения являются $x=3$ и $x=6\text{.}$ На интервале между корнями квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом принимает отрицательные значения. Следовательно, решением является интервал $(3;6)\text{.}$ Это соответствует варианту A.

2. $\frac{(x-6{)}^2}{x-3}>0\text{.}$
Числитель $(x-6{)}^2$ всегда неотрицателен. Поскольку неравенство строгое, числитель не может быть равен нулю, то есть $x\ne 6\text{.}$ При $x\ne 6$ числитель положителен, значит, для того чтобы вся дробь была положительной, знаменатель должен быть положителен: $x-3>0\text{,}$ откуда $x>3\text{.}$ Объединяя условия $x>3$ и $x\ne 6\text{,}$ получаем $(3;6)\cup (6;+\infty )\text{.}$ Это соответствует варианту C.

3. $\frac{x-3}{x-6}>0\text{.}$
Данное рациональное неравенство равносильно неравенству $(x-3)(x-6)>0$ при условии $x\ne 6\text{.}$ Знаки выражения меняются в точках $3$ и $6\text{.}$ Выражение положительно на интервалах $(-\infty ;3)$ и $(6;+\infty )\text{.}$ Это соответствует варианту B.

4. $(x-3{)}^2(x-6)<0\text{.}$
Множитель $(x-3{)}^2$ всегда неотрицателен. Так как неравенство строгое, $(x-3{)}^2$ должен быть строго больше нуля, что выполняется при $x\ne 3\text{.}$ Для того чтобы произведение было отрицательным, второй множитель должен быть отрицательным: $x-6<0\text{,}$ то есть $x<6\text{.}$ Объединяя условия $x<6$ и $x\ne 3\text{,}$ получаем $(-\infty ;3)\cup (3;6)\text{.}$ Это соответствует варианту D.

Запишем итоговое соответствие:
1 — A
2 — C
3 — B
4 — D

Ответ: 1A2C3B4D