Задача №13538

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $2^{-x+1}<0,5$
2. $\frac{(x-5{)}^2}{x-4}<0$
3. ${\log }_{4}x>1$
4. $(x-4)(x-2)<0$

Решения:
1) $(4;+\infty )$
2) $(2;4)$
3) $(2;+\infty )$
4) $(-\infty ;4)$

Решим каждое неравенство отдельно.

1. Неравенство $2^{-x+1}<0,5\text{.}$

Так как $0,5=2^{-1}\text{,}$ имеем:

$$2^{-x+1}<2^{-1}$$

Поскольку основание $2>1\text{,}$ показательная функция возрастает, поэтому:

$$-x+1<-1$$

Решаем:

$$-x<-2\Rightarrow x>2$$

Решение: $x\in (2;+\infty )\text{.}$ Это соответствует решению под номером 3.

2. Неравенство $\frac{(x-5{)}^2}{x-4}<0\text{.}$

Числитель $(x-5{)}^2⩾0\text{,}$ причём равен нулю только при $x=5\text{.}$ Для отрицательности дроби необходимо, чтобы числитель был положительным (т. е. $x\ne 5$) и знаменатель отрицательным: $x-4<0\text{.}$ Учитывая область определения, получаем:

$$x<4$$

При этом $x=5$ не входит в этот промежуток. Следовательно, решение: $x\in (-\infty ;4)\text{.}$ Это соответствует решению под номером 4.

3. Неравенство ${\log }_{4}x>1\text{.}$

Представим $1={\log }_{4}4\text{.}$ Поскольку логарифмическая функция с основанием $4>1$ возрастает, имеем:

$${\log }_{4}x>{\log }_{4}4\Rightarrow x>4$$

С учётом области определения $x>0\text{,}$ получаем решение: $x\in (4;+\infty )\text{.}$ Это соответствует решению под номером 1.

4. Неравенство $(x-4)(x-2)<0\text{.}$

Квадратичная функция $f(x)=(x-4)(x-2)$ — парабола, ветви которой направлены вверх, нули функции в точках $x=2$ и $x=4\text{.}$ Значение функции отрицательно между корнями:

$$2<x<4$$

Решение: $x\in (2;4)\text{.}$ Это соответствует решению под номером 2.

Сопоставим результаты:

• Неравенство 1 — Решение 3
• Неравенство 2 — Решение 4
• Неравенство 3 — Решение 1
• Неравенство 4 — Решение 2

Ответ: 3412