Задача №13537

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $3^x⩾\frac{1}{3}$
2. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x⩾\frac{1}{3}$
3. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x⩽\frac{1}{3}$
4. $3^x⩽\frac{1}{3}$

Решения:
A. $x⩽-1$
B. $x⩾1$
C. $x⩽1$
D. $x⩾-1$

Для каждого неравенства решим его, используя свойства показательной функции.

Функция $a^x$ возрастает при $a>1$ и убывает при $0<a<1\text{.}$ Также заметим, что $\frac{1}{3}=3^{-1}\text{.}$

1. Неравенство $3^x⩾\frac{1}{3}\text{:}$

$$3^x⩾3^{-1}$$

Поскольку основание $3>1\text{,}$ функция возрастает, поэтому

$$x⩾-1.$$

Это соответствует решению D: $x⩾-1\text{.}$

2. Неравенство ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x⩾\frac{1}{3}\text{:}$

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x⩾{\left(\frac{1}{3}\right)}^1$$

Основание $\frac{1}{3}<1\text{,}$ функция убывает, поэтому

$$x⩽1.$$

Это соответствует решению C: $x⩽1\text{.}$

3. Неравенство ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x⩽\frac{1}{3}\text{:}$

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x⩽{\left(\frac{1}{3}\right)}^1$$

Функция убывает, поэтому

$$x⩾1.$$

Это соответствует решению B: $x⩾1\text{.}$

4. Неравенство $3^x⩽\frac{1}{3}\text{:}$

$$3^x⩽3^{-1}$$

Функция возрастает, поэтому

$$x⩽-1.$$

Это соответствует решению A: $x⩽-1\text{.}$

Таким образом, устанавливаем соответствие:

• Неравенство 1 → D
• Неравенство 2 → C
• Неравенство 3 → B
• Неравенство 4 → A

Ответ: 1 — D, 2 — C, 3 — B, 4 — A