Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
1
Алгебра
ФИПИ
Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений:
1. (x−1)2(x−4)<0
2. x−4x−1>0
3. (x−1)(x−4)<0
4. x−1(x−4)2>0
A. x<1 или x>4
B. 1<x<4 или x>4
C. x<1 или 1<x<4
D. 1<x<4
Решим каждое неравенство отдельно.
1. Неравенство (x−1)2(x−4)<0.
Заметим, что (x−1)2⩾0 при всех x, причём равенство нулю достигается только при x=1. При x=1 имеем (x−1)2>0, поэтому знак произведения определяется знаком (x−4). Чтобы произведение было отрицательным, необходимо x−4<0, то есть x<4.
Учитывая, что при x=1 произведение равно 0 (что не удовлетворяет строгому неравенству), получаем решение: x<1 или 1<x<4. Это соответствует варианту C.
2. Неравенство x−4x−1>0.
Решаем методом интервалов. Нули числителя: x−1=0⇒x=1. Нули знаменателя: x−4=0⇒x=4. Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знаки выражения на интервалах:
— При x<1: например, x=0,
0−40−1=−4−1=41>0— выражение положительно.
— При 1<x<4: например, x=2,
2−42−1=−21=−21<0— выражение отрицательно.
— При x>4: например, x=5,
5−45−1=14=4>0— выражение положительно.
Неравенство строгое (>0), поэтому выбираем интервалы, где выражение положительно: x<1 или x>4. Точки x=1 и x=4 не входят в решение. Это соответствует варианту A.
3. Неравенство (x−1)(x−4)<0.
Квадратичная функция f(x)=(x−1)(x−4) — это парабола, ветви которой направлены вверх. Нули функции: x=1 и x=4. Неравенство f(x)<0 выполняется для значений x, лежащих между корнями: 1<x<4. Это соответствует варианту D.
4. Неравенство x−1(x−4)2>0.
Числитель (x−4)2⩾0 при всех x, причём равен нулю только при x=4. При x=4 числитель положителен. Знак дроби определяется знаком знаменателя x−1. Чтобы дробь была положительной, необходимо:
{x−1>0,x=4⇒{x>1,x=4Это можно записать как 1<x<4 или x>4. Это соответствует варианту B.
Итоговые соответствия:
1 — C
2 — A
3 — D
4 — B
Ответ: 1C2A3D4B