Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений: 1. (x-1)^2(x-4) < 0 2. (x-1)/(x-4) > 0 3. (x-1)(x-4) < 0 4. ((x-4)^2)/(x-1) > 0 A. x < 1 или x > 4 B. 1 < x < 4 или x > 4 C. x < 1 или 1 < x < 4 D. 1 < x < 4

Решим каждое неравенство отдельно. 1. Неравенство (x-1)^2(x-4) < 0. Заметим, что (x-1)^2 0 при всех x, причём равенство нулю достигается только при x = 1. При x != 1 имеем (x-1)^2 > 0, поэтому знак произведения определяется знаком (x-4). Чтобы произведение было отрицательным, необходимо x-4 < 0, то есть x < 4. Учитывая, что при x = 1 произведение равно 0 (что не удовлетворяет строгому неравенству), получаем решение: x < 1 или 1 < x < 4. Это соответствует варианту C. 2. Неравенство (x-1)/(x-4) > 0. Решаем методом интервалов. Нули числителя: x - 1 = 0 => x = 1. Нули знаменателя: x - 4 = 0 => x = 4. Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знаки выражения на интервалах: — При x < 1: например, x = 0, (0 - 1)/(0 - 4) = (-1)/(-4) = (1)/(4) > 0 — выражение положительно. — При 1 < x < 4: например, x = 2, (2 - 1)/(2 - 4) = (1)/(-2) = -(1)/(2) < 0 — выражение отрицательно. — При x > 4: например, x = 5, (5 - 1)/(5 - 4) = (4)/(1) = 4 > 0 — выражение положительно. Неравенство строгое (>0), поэтому выбираем интервалы, где выражение положительно: x < 1 или x > 4. Точки x = 1 и x = 4 не входят в решение. Это соответствует варианту A. 3. Неравенство (x-1)(x-4) < 0. Квадратичная функция f(x) = (x-1)(x-4) — это парабола, ветви которой направлены вверх. Нули функции: x = 1 и x = 4. Неравенство f(x) < 0 выполняется для значений x, лежащих между корнями: 1 < x < 4. Это соответствует варианту D. 4. Неравенство ((x-4)^2)/(x-1) > 0. Числитель (x-4)^2 0 при всех x, причём равен нулю только при x = 4. При x != 4 числитель положителен. Знак дроби определяется знаком знаменателя x - 1. Чтобы дробь была положительной, необходимо: cases x - 1 > 0, x != 4 cases => cases x > 1, x != 4 cases Это можно записать как 1 < x < 4 или x > 4. Это соответствует варианту B. Итоговые соответствия: 1 — C 2 — A 3 — D 4 — B Ответ: 1C2A3D4B

CADB