Задача №13521

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $(x-1)(x-3)<0$
2. $\frac{(x-3{)}^2}{x-1}>0$
3. $(x-1{)}^2(x-3)<0$
4. $\frac{x-1}{x-3}>0$

Решения:
A. $(1;3)$
B. $(1;3)\cup (3;+\infty )$
C. $(-\infty ;1)\cup (1;3)$
D. $(-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$

1. Решим неравенство $(x-1)(x-3)<0\text{.}$

Нули функции: $x=1$ и $x=3\text{.}$ График квадратичной функции $f(x)=(x-1)(x-3)$ — парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, $f(x)<0$ на интервале между корнями:

$x\in (1;3)\text{.}$

Это соответствует варианту A.

2. Решим неравенство $\frac{(x-3{)}^2}{x-1}>0\text{.}$

Так как $(x-3{)}^2⩾0$ для всех $x\text{,}$ причём $(x-3{)}^2=0$ только при $x=3\text{,}$ а знаменатель должен быть отличен от нуля ($x-1\ne 0$), то для положительности всей дроби необходимо выполнение системы:

$$\{\begin{array}{l}(x-3{)}^2>0\\ x-1>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ne 3\\ x>1\end{array}$$

Следовательно, $x\in (1;3)\cup (3;+\infty )\text{.}$

Это соответствует варианту B.

3. Решим неравенство $(x-1{)}^2(x-3)<0\text{.}$

Здесь $(x-1{)}^2⩾0$ для всех $x\text{.}$ Произведение будет отрицательным, когда первый множитель положителен, а второй — отрицателен:

$$\{\begin{array}{l}(x-1{)}^2>0\\ x-3<0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x<3\end{array}$$

Таким образом, $x\in (-\infty ;1)\cup (1;3)\text{.}$

Это соответствует варианту C.

4. Решим неравенство $\frac{x-1}{x-3}>0$ методом интервалов.

Нули числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=3$ (причём $x\ne 3$). Расставим знаки на интервалах:

• на промежутке $(-\infty ;1)$ выражение положительно;
• на промежутке $(1;3)$ выражение отрицательно;
• на промежутке $(3;+\infty )$ выражение положительно.

Следовательно, решением является объединение интервалов $x\in (-\infty ;1)\cup (3;+\infty )\text{.}$

Это соответствует варианту D.

Ответ: 1A2B3C4D