Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. Неравенства: (x-1)(x-3) < 0 ((x-3)^2)/(x-1) > 0 (x-1)^2(x-3) < 0 (x-1)/(x-3) > 0 Решения: A. (1; 3) B. (1; 3) U (3; +inf) C. (-inf; 1) U (1; 3) D. (-inf; 1) U (3; +inf)
Решим неравенство (x-1)(x-3) < 0 . Нули функции: x = 1 и x = 3 . График квадратичной функции f(x) = (x-1)(x-3) — парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, f(x) < 0 на интервале между корнями: x in (1; 3) . Это соответствует варианту A. Решим неравенство ((x-3)^2)/(x-1) > 0 . Так как (x-3)^2 0 для всех x , причём (x-3)^2 = 0 только при x = 3 , а знаменатель должен быть отличен от нуля ( x-1 != 0 ), то для положительности всей дроби необходимо выполнение системы: cases (x-3)^2 > 0 x-1 > 0 cases => cases x != 3 x > 1 cases Следовательно, x in (1; 3) U (3; +inf) . Это соответствует варианту B. Решим неравенство (x-1)^2(x-3) < 0 . Здесь (x-1)^2 0 для всех x . Произведение будет отрицательным, когда первый множитель положителен, а второй — отрицателен: cases (x-1)^2 > 0 x-3 < 0 cases => cases x != 1 x < 3 cases Таким образом, x in (-inf; 1) U (1; 3) . Это соответствует варианту C. Решим неравенство (x-1)/(x-3) > 0 методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: x = 1 и x = 3 (причём x != 3 ). Расставим знаки на интервалах: на промежутке (-inf; 1) выражение положительно; на промежутке (1; 3) выражение отрицательно; на промежутке (3; +inf) выражение положительно. Следовательно, решением является объединение интервалов x in (-inf; 1) U (3; +inf) . Это соответствует варианту D. Ответ: 1A2B3C4D
ABCD