Задача №13520

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. ${\log }_{4}x>0$
2. $4^{-x+7}>16$
3. $\frac{x-1}{x-5}<0$
4. $\frac{1}{(x-5)(x-1)}>0$

Решения:
A. $x<1$ или $x>5$
B. $x>1$
C. $x<5$
D. $1<x<5$

Решим каждое неравенство:

1. Неравенство ${\log }_{4}x>0\text{.}$
Область определения: $x>0\text{.}$ Так как логарифмическая функция с основанием $4>1$ возрастает, неравенство эквивалентно:

$$x>4^0\Rightarrow x>1.$$

С учётом области определения получаем $x>1\text{.}$ Это соответствует решению B.

2. Неравенство $4^{-x+7}>16\text{.}$
Преобразуем: $16=4^2\text{,}$ поэтому $4^{-x+7}>4^2\text{.}$ Поскольку основание $4>1\text{,}$ показательная функция возрастает, и неравенство эквивалентно $-x+7>2\text{.}$
Решаем:

$$-x>-5\Rightarrow x<5.$$

Это соответствует решению C.

3. Неравенство $\frac{x-1}{x-5}<0\text{.}$
Решаем методом интервалов. Нули числителя: $x=1\text{,}$ знаменателя: $x=5\text{.}$ Проверяем знак дроби на интервалах:

• при $x<1$ (например, $x=0$): $\frac{0-1}{0-5}=\frac{1}{5}>0\text{;}$
• при $1<x<5$ (например, $x=2$): $\frac{2-1}{2-5}=-\frac{1}{3}<0\text{;}$
• при $x>5$ (например, $x=6$): $\frac{6-1}{6-5}=5>0\text{.}$

Неравенство требует значений, где дробь отрицательна, поэтому решение: $1<x<5\text{.}$ Это соответствует решению D.

4. Неравенство $\frac{1}{(x-5)(x-1)}>0\text{.}$
Числитель равен 1, положителен, поэтому знак дроби определяется знаменателем. Дробь положительна, когда $(x-5)(x-1)>0\text{.}$ Корни знаменателя: $x=1$ и $x=5\text{.}$ Это квадратичная функция, график — парабола ветвями вверх, поэтому выражение положительно при:

$$x<1\text{ или }x>5.$$

Это соответствует решению A.

Ответ: 1—B, 2—C, 3—D, 4—A.