Задача №13518

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. ${\log }_{3}x>1$
2. ${\log }_{3}x<-1$
3. ${\log }_{3}x>-1$
4. ${\log }_{3}x<1$

Решения:
A. $(0;\frac{1}{3})$
B. $(0;3)$
C. $(\frac{1}{3};+\infty )$
D. $(3;+\infty )$

Решим каждое неравенство. Для всех логарифмических неравенств область допустимых значений: $x>0\text{.}$

1. Неравенство ${\log }_{3}x>1\text{.}$
Так как основание логарифма $3>1\text{,}$ знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:
${\log }_{3}x>{\log }_{3}3\Rightarrow x>3\text{.}$
С учётом ОДЗ получаем интервал: $x\in (3;+\infty )\text{.}$ Это соответствует решению D.

2. Неравенство ${\log }_{3}x<-1\text{.}$
Так как основание логарифма $3>1\text{,}$ знак неравенства сохраняется:
${\log }_{3}x<{\log }_3\frac{1}{3}\Rightarrow x<\frac{1}{3}\text{.}$
С учётом ОДЗ ($x>0$) получаем интервал: $x\in (0;\frac{1}{3})\text{.}$ Это соответствует решению A.

3. Неравенство ${\log }_{3}x>-1\text{.}$
Так как основание логарифма $3>1\text{,}$ знак неравенства сохраняется:
${\log }_{3}x>{\log }_3\frac{1}{3}\Rightarrow x>\frac{1}{3}\text{.}$
С учётом ОДЗ получаем интервал: $x\in (\frac{1}{3};+\infty )\text{.}$ Это соответствует решению C.

4. Неравенство ${\log }_{3}x<1\text{.}$
Так как основание логарифма $3>1\text{,}$ знак неравенства сохраняется:
${\log }_{3}x<{\log }_{3}3\Rightarrow x<3\text{.}$
С учётом ОДЗ ($x>0$) получаем интервал: $x\in (0;3)\text{.}$ Это соответствует решению B.

Ответ: 1 — D, 2 — A, 3 — C, 4 — B.