Задача №13517

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $\frac{1}{(x-2)(x-3)}>0$
2. $3^{-x+3}>3$
3. ${\log }_{3}x>1$
4. $\frac{x-3}{x-2}<0$

Решения:
A. $x<2$ или $x>3$
B. $2<x<3$
C. $x<2$
D. $x>3$

1. Рассмотрим неравенство $\frac{1}{(x-2)(x-3)}>0\text{.}$ Числитель дроби равен $1$ (положителен), поэтому дробь положительна, когда знаменатель положителен: $(x-2)(x-3)>0\text{.}$ Решаем квадратное неравенство: нули $x=2$ и $x=3\text{,}$ парабола ветвями вверх, поэтому $(x-2)(x-3)>0$ при $x<2$ или $x>3\text{.}$ Учитывая, что знаменатель не должен обращаться в ноль ($x\ne 2,x\ne 3$), получаем решение: $x<2$ или $x>3\text{,}$ что соответствует варианту A.

2. Неравенство $3^{-x+3}>3\text{.}$ Представим правую часть как степень: $3^{-x+3}>3^1\text{.}$ Основание $3>1\text{,}$ показательная функция возрастает, поэтому неравенство равносильно неравенству показателей: $-x+3>1\text{.}$ Решаем:

$$-x+3>1\Rightarrow -x>-2\Rightarrow x<2.$$

Решение: $x<2\text{,}$ что соответствует варианту C.

3. Неравенство ${\log }_{3}x>1\text{.}$ Основание логарифма $3>1\text{,}$ логарифмическая функция возрастает, поэтому неравенство равносильно $x>3^1\text{,}$ то есть $x>3\text{.}$ ОДЗ логарифма ($x>0$) выполняется автоматически при $x>3\text{.}$ Решение: $x>3\text{,}$ что соответствует варианту D.

4. Неравенство $\frac{x-3}{x-2}<0\text{.}$ Рассмотрим функцию $f(x)=\frac{x-3}{x-2}\text{.}$ Нули числителя: $x=3\text{,}$ нуль знаменателя: $x=2$ (не входит в ОДЗ). Методом интервалов определяем знаки:
1) при $x<2\text{:}$ $x-3<0\text{,}$ $x-2<0\text{,}$ дробь положительна;
2) при $2<x<3\text{:}$ $x-3<0\text{,}$ $x-2>0\text{,}$ дробь отрицательна;
3) при $x>3\text{:}$ $x-3>0\text{,}$ $x-2>0\text{,}$ дробь положительна.

Неравенство $f(x)<0$ выполняется только при $2<x<3\text{.}$ Решение: $2<x<3\text{,}$ что соответствует варианту B.

Ответ: 1 — A, 2 — C, 3 — D, 4 — B.