Задача №13513

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
А) $\frac{1}{(x-2)(x-3)}>0$
Б) $3^{-x+3}>3$
В) ${\log }_{3}x>1$
Г) $\frac{x-3}{x-2}<0$

Решения:
1) $x<2$ или $x>3$
2) $2<x<3$
3) $x<2$
4) $x>3$

Решим каждое неравенство по порядку.

А) $\frac{1}{(x-2)(x-3)}>0\text{.}$
Числитель равен 1, то есть положителен, поэтому знак дроби совпадает со знаком выражения в знаменателе. Неравенство равносильно $(x-2)(x-3)>0\text{.}$

Нули функции: $x=2$ и $x=3\text{.}$ Методом интервалов находим:
1. При $x<2$ оба множителя отрицательны, произведение положительно.
2. При $2<x<3$ один множитель положителен, другой отрицателен, произведение отрицательно.
3. При $x>3$ оба множителя положительны, произведение положительно.

Следовательно, решение: $x<2$ или $x>3\text{.}$ Это вариант под номером 1.

Б) $3^{-x+3}>3\text{.}$
Представим правую часть как степень с основанием 3:

$$3^{-x+3}>3^1.$$

Так как основание степени $3>1\text{,}$ показательная функция возрастает, поэтому переходим к сравнению показателей с сохранением знака неравенства:

$$-x+3>1\Rightarrow -x>-2\Rightarrow x<2.$$

Решение: $x<2\text{.}$ Это вариант под номером 3.

В) ${\log }_{3}x>1\text{.}$
По определению логарифма и с учётом того, что основание $3>1$ (функция возрастает), неравенство равносильно:

$$x>3^1\Rightarrow x>3.$$

Область допустимых значений $x>0$ выполняется автоматически. Решение: $x>3\text{.}$ Это вариант под номером 4.

Г) $\frac{x-3}{x-2}<0\text{.}$
Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Применим метод интервалов. На числовой оси отметим точки $x=2$ и $x=3\text{.}$ Выражение меньше нуля на интервале $(2;3)\text{.}$

Решение: $2<x<3\text{.}$ Это вариант под номером 2.

Сопоставим неравенства и их решения:
А — 1
Б — 3
В — 4
Г — 2

Ответ: 1342