Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. Неравенства: (x-3)(x-6) < 0 ((x-6)^2)/(x-3) > 0 (x-3)/(x-6) > 0 (x-3)^2(x-6) < 0 Решения: A) 3 < x < 6 B) x < 3 или x > 6 C) 3 < x < 6 или x > 6 D) x < 3 или 3 < x < 6
Рассмотрим неравенство (x-3)(x-6) < 0 . Корни соответствующего уравнения: x = 3 и x = 6 . Графиком квадратичной функции y = (x-3)(x-6) является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает отрицательные значения на интервале между корнями. С учётом строгого знака неравенства получаем: 3 < x < 6 . Это соответствует решению A. Рассмотрим неравенство ((x-6)^2)/(x-3) > 0 . Числитель (x-6)^2 0 для любого x и равен нулю только при x = 6 . Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому x != 3 . Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как числитель положителен при всех x != 6 , получаем систему условий: cases x - 3 > 0, x != 6 cases Следовательно, x > 3 и x != 6 . Это можно записать в виде объединения интервалов: 3 < x < 6 или x > 6 . Это соответствует решению C. Рассмотрим неравенство (x-3)/(x-6) > 0 . Решим его методом интервалов. Критические точки: x = 3 (числитель равен нулю) и x = 6 (знаменатель равен нулю). Определим знаки выражения на получившихся интервалах: при x < 3 : дробь положительна; при 3 < x < 6 : дробь отрицательна; при x > 6 : дробь положительна. Таким образом, решением является объединение интервалов x < 3 или x > 6 . Это соответствует решению B. Рассмотрим неравенство (x-3)^2(x-6) < 0 . Множитель (x-3)^2 0 для любого действительного x и обращается в нуль при x = 3 . Произведение отрицательно, если множители имеют разные знаки. Поскольку (x-3)^2 > 0 при всех x != 3 , необходимо выполнение условий: cases x - 6 < 0, x != 3 cases Следовательно, x < 6 и x != 3 , что соответствует решению: x < 3 или 3 < x < 6 . Это решение D. Ответ: 1 — A, 2 — C, 3 — B, 4 — D.
ACBD