Задача №13503

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $(x-3)(x-6)<0$
2. $\frac{(x-6{)}^2}{x-3}>0$
3. $\frac{x-3}{x-6}>0$
4. $(x-3{)}^2(x-6)<0$

Решения:
A) $3<x<6$
B) $x<3$ или $x>6$
C) $3<x<6$ или $x>6$
D) $x<3$ или $3<x<6$

1. Рассмотрим неравенство $(x-3)(x-6)<0\text{.}$

Корни соответствующего уравнения: $x=3$ и $x=6\text{.}$ Графиком квадратичной функции $y=(x-3)(x-6)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

С учётом строгого знака неравенства получаем: $3<x<6\text{.}$ Это соответствует решению A.

2. Рассмотрим неравенство $\frac{(x-6{)}^2}{x-3}>0\text{.}$

Числитель $(x-6{)}^2⩾0$ для любого $x$ и равен нулю только при $x=6\text{.}$ Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x\ne 3\text{.}$ Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как числитель положителен при всех $x\ne 6\text{,}$ получаем систему условий:

$$\{\begin{array}{l}x-3>0,\\ x\ne 6\end{array}$$

Следовательно, $x>3$ и $x\ne 6\text{.}$ Это можно записать в виде объединения интервалов: $3<x<6$ или $x>6\text{.}$ Это соответствует решению C.

3. Рассмотрим неравенство $\frac{x-3}{x-6}>0\text{.}$

Решим его методом интервалов. Критические точки: $x=3$ (числитель равен нулю) и $x=6$ (знаменатель равен нулю). Определим знаки выражения на получившихся интервалах:

• при $x<3\text{:}$ дробь положительна;
• при $3<x<6\text{:}$ дробь отрицательна;
• при $x>6\text{:}$ дробь положительна.

Таким образом, решением является объединение интервалов $x<3$ или $x>6\text{.}$ Это соответствует решению B.

4. Рассмотрим неравенство $(x-3{)}^2(x-6)<0\text{.}$

Множитель $(x-3{)}^2⩾0$ для любого действительного $x$ и обращается в нуль при $x=3\text{.}$ Произведение отрицательно, если множители имеют разные знаки. Поскольку $(x-3{)}^2>0$ при всех $x\ne 3\text{,}$ необходимо выполнение условий:

$$\{\begin{array}{l}x-6<0,\\ x\ne 3\end{array}$$

Следовательно, $x<6$ и $x\ne 3\text{,}$ что соответствует решению: $x<3$ или $3<x<6\text{.}$ Это решение D.

Ответ: 1 — A, 2 — C, 3 — B, 4 — D.