Задача №13501

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. ${\log }_3(x-3)<1$
2. $5^{-x+2}>0,2$
3. $\frac{x-3}{(x-6{)}^2}>0$
4. $(x-3)(x-6)>0$

Решения:
A. $(3;6)\cup (6;+\infty )$
B. $(3;6)$
C. $(-\infty ;3)\cup (6;+\infty )$
D. $(-\infty ;3)$

Решим каждое неравенство:

1. ${\log }_3(x-3)<1$

ОДЗ: $x-3>0\Rightarrow x>3\text{.}$

Так как основание логарифма $3>1\text{,}$ функция возрастает:

$${\log }_3(x-3)<{\log }_{3}3\Rightarrow x-3<3\Rightarrow x<6.$$

С учётом ОДЗ получаем $3<x<6\text{,}$ что соответствует интервалу $(3;6)$ (вариант B).

2. $5^{-x+2}>0,2$

Заметим, что $0,2=\frac{1}{5}=5^{-1}\text{.}$ Неравенство примет вид:

$$5^{-x+2}>5^{-1}.$$

Так как основание $5>1\text{,}$ показательная функция возрастает, поэтому:

$$-x+2>-1\Rightarrow -x>-3\Rightarrow x<3.$$

Решение: $x\in (-\infty ;3)$ (вариант D).

3. $\frac{x-3}{(x-6{)}^2}>0$

Знаменатель $(x-6{)}^2$ положителен при всех $x\ne 6\text{.}$ Дробь положительна тогда и только тогда, когда числитель положителен:

$$x-3>0\Rightarrow x>3.$$

С учётом условия $x\ne 6$ получаем решение: $x\in (3;6)\cup (6;+\infty )$ (вариант A).

4. $(x-3)(x-6)>0$

Нули левой части: $x=3$ и $x=6\text{.}$ Графиком функции $y=(x-3)(x-6)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Выражение положительно на промежутках:

$$x\in (-\infty ;3)\cup (6;+\infty ).$$

Этому решению соответствует вариант C.

Таким образом, соответствия: 1 — B, 2 — D, 3 — A, 4 — C.

Ответ:
1 — B
2 — D
3 — A
4 — C