Найдите корень уравнения ((1)/(3))^(7x+4) : ((1)/(3))^(-5x+3) = (1)/(81).

Задача №13471: Простейшие уравнения

(\frac{1}{3})^{7 x + 4} : (\frac{1}{3})^{- 5 x + 3} = \frac{1}{81}

Так как при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются, получаем:

(\frac{1}{3})^{(7 x + 4) - (- 5 x + 3)} = \frac{1}{81}

Вычислим показатель степени:

(7 x + 4) - (- 5 x + 3) = 7 x + 4 + 5 x - 3 = 12 x + 1

Таким образом,

(\frac{1}{3})^{12 x + 1} = \frac{1}{81}

Поскольку $81 = 3^{4},$ то

\frac{1}{81} = \frac{1}{3 ^{4}} = (\frac{1}{3})^{4}

Следовательно,

(\frac{1}{3})^{12 x + 1} = (\frac{1}{3})^{4} \Rightarrow 12 x + 1 = 4

12 x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0, 25

Ответ: $x = \frac{1}{4}$

(\frac{1}{3})^{7 x + 4} : (\frac{1}{3})^{- 5 x + 3} = \frac{1}{81}

Так как при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются, получаем:

(\frac{1}{3})^{(7 x + 4) - (- 5 x + 3)} = \frac{1}{81}

Вычислим показатель степени:

(7 x + 4) - (- 5 x + 3) = 7 x + 4 + 5 x - 3 = 12 x + 1

Таким образом,

(\frac{1}{3})^{12 x + 1} = \frac{1}{81}

Поскольку $81 = 3^{4},$ то

\frac{1}{81} = \frac{1}{3 ^{4}} = (\frac{1}{3})^{4}

Следовательно,

(\frac{1}{3})^{12 x + 1} = (\frac{1}{3})^{4} \Rightarrow 12 x + 1 = 4

12 x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0, 25

Ответ: $x = \frac{1}{4}$