Найдите корень уравнения _(0,4)(4x + 10) - _(0,4)(1)/(5) = _(0,4)8.

Задача №13436: Простейшие уравнения

Решим логарифмическое уравнение $lo g_{0, 4} (4 x + 10) - lo g_{0, 4} \frac{1}{5} = lo g_{0, 4} 8 .$

Используем свойство логарифмов: $lo g_{a} b - lo g_{a} c = lo g_{a} \frac{b}{c} .$

lo g_{0, 4} \frac{4 x + 10}{\frac{1}{5}} = lo g_{0, 4} 8.

lo g_{0, 4} (5 (4 x + 10)) = lo g_{0, 4} 8.

Так как логарифмы по одному основанию равны, можно приравнять аргументы (с учётом ОДЗ):

5 (4 x + 10) = 8.

Решим это уравнение:

5 (4 x + 10) = 8 \Rightarrow 20 x + 50 = 8 \Rightarrow 20 x = - 42 \Rightarrow x = - \frac{42}{20} = - 2.1.

Проверим ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительными.

$4 x + 10 > 0 .$ Подставим $x = - 2.1 :$

$4 \cdot (- 2.1) + 10 = - 8.4 + 10 = 1.6 > 0$ — выполняется.

Также $\frac{1}{5} > 0$ и $8 > 0 .$

Ответ: $- 2.1 .$