Задача №13435

Найдите корень уравнения ${\log }_{0,3}(4x+11)+{\log }_{0,3}\frac{1}{5}={\log }_{0,3}8\text{.}$

Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(bc)\text{.}$ Тогда уравнение можно переписать в виде:

Так как основания логарифмов равны и положительны, приравняем аргументы логарифмов:

Умножим обе части уравнения на 5:

$4x+11=40\text{.}$

$4x=40-11\text{.}$

$4x=29\text{.}$

$x=\frac{29}{4}\text{.}$

$x=7,25\text{.}$

Проверим условие допустимости значений (аргумент логарифма должен быть положителен):

$4\cdot 7,25+11=29+11=40>0\text{.}$

Корень $7,25$ удовлетворяет условию.

Ответ: 7,25