Задача №13411

Найдите корень уравнения

$${\log }_{\frac{2}{3}}(2x+9)=-1.$$

Уравнение:

$${\log }_{\frac{2}{3}}(2x+9)=-1.$$

1. По определению логарифма:

$$2x+9={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}.$$

2. Вычисляем правую часть:

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}=\frac{3}{2}.$$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$2x+9=\frac{3}{2}.$$

3. Переносим 9:

$$2x=\frac{3}{2}-9=\frac{3}{2}-\frac{18}{2}=-\frac{15}{2}.$$

4. Делим на 2:

$$x=-\frac{15}{2}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{15}{4}=-3,75.$$

5. Проверка ОДЗ: аргумент $2x+9>0\text{.}$ При $x=-3,75\text{:}$

$2\cdot (-3,75)+9=-7,5+9=1,5>0$ — верно.

Ответ: $x=-3,75\text{.}$