Найдите корень уравнения ((1)/(4))^(4x - 13) = (1)/(64) .

Задача №13406: Простейшие уравнения

Уравнение:
$(\frac{1}{4})^{4 x - 13} = \frac{1}{64} .$

1. Представим обе части как степени с основанием 4:
$\frac{1}{4} = 4^{- 1},$ $\frac{1}{64} = 6 4^{- 1} = (4^{3})^{- 1} = 4^{- 3} .$

Тогда уравнение принимает вид:

(4^{- 1})^{4 x - 13} = 4^{- 3}

4^{- (4 x - 13)} = 4^{- 3}

4^{- 4 x + 13} = 4^{- 3}

2. Поскольку основания равны, приравняем показатели:

- 4 x + 13 = - 3

3. Решим полученное линейное уравнение:

- 4 x = - 3 - 13

- 4 x = - 16

x = \frac{- 16}{- 4}

x = 4

4. Проверка: при $x = 4$
$(\frac{1}{4})^{4 \cdot 4 - 13} = (\frac{1}{4})^{16 - 13} = (\frac{1}{4})^{3} = \frac{1}{64} .$

Ответ: 4