Задача №13393

Найдите корень уравнения ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-3x+2}:{\left(\frac{1}{5}\right)}^{7x-4}=\frac{1}{25}\text{.}$

Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m:a^n=a^{m-n}\text{.}$

Преобразуем левую часть уравнения:

Правую часть уравнения представим в виде степени с основанием $\frac{1}{5}\text{:}$

$\frac{1}{25}={\left(\frac{1}{5}\right)}^2\text{.}$

Уравнение принимает вид:

${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-10x+6}={\left(\frac{1}{5}\right)}^2\text{.}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$-10x+6=2\text{.}$

Перенесем известные слагаемые в правую часть:

$-10x=2-6\text{,}$

$-10x=-4\text{.}$

Разделим обе части на $-10\text{:}$

$x=\frac{-4}{-10}=0,4\text{.}$

Ответ: 0,4.