Задача №13382

Найдите корень уравнения ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-3}=16\text{.}$

Уравнение: ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-3}=16\text{.}$
1. Представим обе части как степени с основанием 4 (или $\frac{1}{4}$). Заметим, что $16=4^2\text{,}$ а $\left(\frac{1}{4}\right)=4^{-1}\text{.}$ Перепишем левую часть:

Правая часть: $16=4^2\text{.}$
Уравнение:

2. Приравниваем показатели:

3. Решаем:

Можно также решать через основание $\frac{1}{4}\text{:}$ $16=\frac{1}{4^{-2}}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}\text{.}$ Тогда ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-3}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}\text{,}$ откуда $x-3=-2\text{,}$ $x=1\text{.}$
Ответ: $x=1\text{.}$