Найдите корень уравнения _3(x - 3) + _3 2 = _3 10 .

Задача №13312

Легко

Задача #13312

Логарифмические уравнения•1 балл

Найдите корень уравнения $lo g_{3} (x - 3) + lo g_{3} 2 = lo g_{3} 10 .$

Используем свойство логарифма: $lo g_{a} b + lo g_{a} c = lo g_{a} (b \cdot c) .$ Тогда:

lo g_{3} (x - 3) + lo g_{3} 2 = lo g_{3} (2 (x - 3)) = lo g_{3} (2 x - 6)

Уравнение принимает вид:

lo g_{3} (2 x - 6) = lo g_{3} 10

Поскольку логарифмическая функция с основанием $3$ (больше $1$ ) монотонно возрастает, из равенства логарифмов следует равенство аргументов:

2 x - 6 = 10

Решаем полученное линейное уравнение:

2 x = 16 \Rightarrow x = 8

Проверяем область определения: для $lo g_{3} (x - 3)$ необходимо $x - 3 > 0,$ то есть $x > 3 .$ При $x = 8$ условие выполняется, так как $8 - 3 = 5 > 0 .$ Следовательно, корень уравнения $x = 8 .$