Найдите корень уравнения _((1)/(5)) ( (1)/(2)x + 3 ) = -1 .

Задача №13310: Простейшие уравнения

Используем определение логарифма: если $lo g_{a} b = c,$ то $a^{c} = b,$ где $a > 0,$ $a \neq = 1,$ $b > 0 .$

Дано уравнение:

lo g_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{2} x + 3) = - 1

Преобразуем по определению:

(\frac{1}{5})^{- 1} = \frac{1}{2} x + 3

Вычислим левую часть:

(\frac{1}{5})^{- 1} = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 5

Получаем уравнение:

5 = \frac{1}{2} x + 3

Решаем уравнение относительно $x :$

5 - 3 = \frac{1}{2} x

2 = \frac{1}{2} x

x = 2 \cdot 2 = 4

Проверим область допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным, то есть $\frac{1}{2} x + 3 > 0 .$ При $x = 4 :$

\frac{1}{2} \cdot 4 + 3 = 2 + 3 = 5 > 0

Условие выполнено.

Ответ: 4