Найдите корень уравнения _6 (16 - 4x) - _6 7 = _6(1)/(35).

Задача №13308: Простейшие уравнения

Решим логарифмическое уравнение

lo g_{6} (16 - 4 x) - lo g_{6} 7 = lo g_{6} \frac{1}{35} .

Используем свойство логарифмов:

lo g_{a} b - lo g_{a} c = lo g_{a} \frac{b}{c} .

Применяя это свойство, получим:

lo g_{6} \frac{16 - 4 x}{7} = lo g_{6} \frac{1}{35} .

Так как логарифмы по одному основанию равны, можно приравнять аргументы (с учётом ОДЗ):

\frac{16 - 4 x}{7} = \frac{1}{35} .

Умножим обе части на 7:

16 - 4 x = \frac{7}{35} = \frac{1}{5} .

Выразим десятичную дробь:

16 - 4 x = 0, 2.

Перенесём слагаемые:

- 4 x = 0, 2 - 16 = - 15, 8.

Найдём x:

x = \frac{- 15 , 8}{- 4} = 3, 95 = \frac{79}{20} .

Проверим ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным:

16 - 4 x > 0 \Rightarrow 4 x < 16 \Rightarrow x < 4.

Найденный корень $x = 3, 95 < 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $3, 95 .$