Задача №13307

Найдите корень уравнения:

${\left(\frac{1}{5}\right)}^{3x+4}:{\left(\frac{1}{5}\right)}^{-5x-2}=\frac{1}{125}\text{.}$

Упростим левую часть уравнения, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием:

$${\left(\frac{1}{5}\right)}^{3x+4}:{\left(\frac{1}{5}\right)}^{-5x-2}={\left(\frac{1}{5}\right)}^{(3x+4)-(-5x-2)}={\left(\frac{1}{5}\right)}^{3x+4+5x+2}={\left(\frac{1}{5}\right)}^{8x+6}$$

Правую часть представим как степень с основанием $\frac{1}{5}\text{:}$

$$\frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}={\left(\frac{1}{5}\right)}^3$$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$${\left(\frac{1}{5}\right)}^{8x+6}={\left(\frac{1}{5}\right)}^3$$

Поскольку основания одинаковы и положительны, приравниваем показатели:

$$8x+6=3$$

Решаем полученное линейное уравнение:

$$8x=3-6\Rightarrow 8x=-3$$ $$x=-\frac{3}{8}$$

Ответ: $-0,375$