Задача №13227

Найдите корень уравнения ${\log }_4(x+2)+{\log }_{4}3={\log }_{4}15\text{.}$

Уравнение: ${\log }_4(x+2)+{\log }_{4}3={\log }_{4}15\text{.}$

Используем свойство суммы логарифмов:
${\log }_4(x+2)+{\log }_{4}3={\log }_4(3(x+2))\text{.}$

Получаем:
${\log }_4(3(x+2))={\log }_{4}15\text{.}$

Логарифмы с одинаковым основанием равны, значит:
$3(x+2)=15\text{.}$

Решаем:
$3x+6=15\text{,}$
$3x=9\text{,}$
$x=3\text{.}$

Проверим ОДЗ: аргумент логарифма $x+2>0\Rightarrow x>-2\text{.}$
Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $3\text{.}$