Задача №13203

Найдите корень уравнения

$${\log }_{\frac{1}{2}}(9-4x)-{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}={\log }_{\frac{1}{2}}15.$$

1. Используем свойство логарифмов: разность логарифмов равна логарифму частного:

$${\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{9-4x}{\frac{1}{3}}\right)={\log }_{\frac{1}{2}}15$$

2. Упростим выражение в логарифме: деление на $\frac{1}{3}$ равно умножению на 3:

$$\frac{9-4x}{\frac{1}{3}}=(9-4x)\cdot 3=27-12x$$

Уравнение становится:

$${\log }_{\frac{1}{2}}(27-12x)={\log }_{\frac{1}{2}}15$$

3. Поскольку основания логарифмов одинаковы и положительны (не равны 1), приравниваем аргументы:

$$27-12x=15$$

4. Решаем линейное уравнение:

$$-12x=15-27$$ $$-12x=-12$$ $$x=\frac{-12}{-12}=1$$

5. Проверка ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительными.

Для исходного уравнения:

$$9-4x>0,\frac{1}{3}>0\text{ (выполнено)},15>0.$$

При $x=1\text{:}$

$$9-4\cdot 1=9-4=5>0.$$

Корень удовлетворяет.

Ответ: $x=1$