Задача №13118

Найдите $\cos \alpha \text{,}$ если

$$\sin \alpha =-\frac{\sqrt{15}}{4}$$

и $270^{\circ }<\alpha <360^{\circ }\text{.}$

Найдём $\cos \alpha \text{,}$ если

$$\sin \alpha =-\frac{\sqrt{15}}{4}$$

и $270^{\circ }<\alpha <360^{\circ }\text{.}$

1. Используем основное тригонометрическое тождество:

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

2. Подставим значение синуса:

$${\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$$ $$\frac{15}{16}+{\cos }^2\alpha =1$$

3. Перенесём:

$${\cos }^2\alpha =1-\frac{15}{16}=\frac{16}{16}-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}$$

4. Извлекаем квадратный корень:

$$\cos \alpha =\pm \sqrt{\frac{1}{16}}=\pm \frac{1}{4}$$

5. Так как угол $\alpha$ находится в четвёртой четверти ($270^{\circ }<\alpha <360^{\circ }$), косинус положителен. Выбираем положительный знак:

$$\cos \alpha =\frac{1}{4}$$

Ответ:

$$\frac{1}{4}$$