Задача №12926

Найдите $\mathrm{tg}\alpha \text{,}$ если

$$\sin \alpha =-\frac{2}{\sqrt{5}}\text{и}180^{\circ }<\alpha <270^{\circ }.$$

Найдём $\mathrm{tg}\alpha \text{.}$

По условию, $\sin \alpha =-\frac{2}{\sqrt{5}}$ и $180^{\circ }<\alpha <270^{\circ }\text{.}$

В третьей четверти тангенс положителен.

Используем основное тригонометрическое тождество:

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.$$

Выразим $\cos \alpha \text{:}$

$${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}.$$

Тогда

$$\cos \alpha =\pm \sqrt{\frac{1}{5}}=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}.$$

В третьей четверти косинус отрицателен, поэтому

$$\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Теперь найдём тангенс:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{2}{\sqrt{5}}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{2}{1}=2.$$

Ответ: 2.