Задача №12873

Найдите значение выражения ${\log }_{\sqrt{2}}{2}^5\text{.}$

Вычислим логарифм:

${\log }_{\sqrt{2}}{2}^5$

1. Представим основание $\sqrt{2}$ как $2^{1/2}\text{:}$

${\log }_{2^{1/2}}{2}^5$

2. Используем формулу перехода к новому основанию или свойство: ${\log }_{a^c}b=\frac{1}{c}{\log }_{a}b\text{.}$ Здесь $a=2\text{,}$ $c=\frac{1}{2}\text{,}$ $b=2^5\text{:}$

${\log }_{2^{1/2}}{2}^5=\frac{1}{1/2}{\log }_2{2}^5=2\cdot {\log }_2{2}^5$

3. ${\log }_2{2}^5=5\cdot {\log }_{2}2=5\cdot 1=5\text{.}$

4. Тогда:

$2\cdot 5=10$

Ответ: $10\text{.}$