Задача №11427

Найдите $\cos \alpha \text{,}$ если

$$\sin \alpha =\frac{3\sqrt{11}}{10}$$

и $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }\text{.}$

Дано:

$$\sin \alpha =\frac{3\sqrt{11}}{10}$$

и $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }\text{.}$ Найти $\cos \alpha \text{.}$

1. Используем основное тригонометрическое тождество: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\text{.}$

2. Подставим значение синуса:

$${\left(\frac{3\sqrt{11}}{10}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1.$$

3. Вычислим квадрат:

$$\frac{9\cdot 11}{100}=\frac{99}{100}.$$

4. Получим:

$$\frac{99}{100}+{\cos }^2\alpha =1,$$

откуда

$${\cos }^2\alpha =1-\frac{99}{100}=\frac{1}{100}.$$

5. Извлекаем корень:

$$\cos \alpha =\pm \frac{1}{10}.$$

6. Учитывая интервал $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ (первая четверть), косинус положителен. Поэтому

$$\cos \alpha =\frac{1}{10}=0,1.$$

Ответ: 0,1.