Задача №11386

Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:4\text{,}$ считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 8.

Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает от него меньший конус, подобный исходному.

Пусть $h$ — высота отсечённого конуса, а $H$ — высота исходного конуса.

Точка делит высоту в отношении $1:4\text{,}$ считая от вершины. Значит, высота малого конуса составляет $1$ часть, а оставшаяся часть высоты — $4$ части. Тогда вся высота исходного конуса состоит из:

Коэффициент подобия малого и большого конусов равен отношению их высот:

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:

По условию, объём отсечённого конуса $V_{\text{малого}}=8\text{.}$ Найдем объём исходного конуса:

Ответ: 1000.