Задача №11353

Пусть высота исходного конуса равна $H\text{,}$ а его объём равен $V_1=192\text{.}$

Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает от него меньший конус, который подобен исходному.

По условию, точка делит высоту конуса в отношении $1:3\text{,}$ считая от вершины. Это означает, что высота отсечённого конуса $h$ составляет $1$ часть, а оставшаяся часть высоты — $3$ части. Таким образом, вся высота исходного конуса $H$ состоит из $1+3=4$ частей.

Коэффициент подобия меньшего и большего конусов равен отношению их высот:

$$k=\frac{h}{H}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$$

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:

$$\frac{V_2}{V_1}=k^3={\left(\frac{1}{4}\right)}^3=\frac{1}{64}$$

Найдем объём отсечённого конуса $V_2\text{:}$

$$V_2=\frac{V_1}{64}=\frac{192}{64}=3.$$