Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно 2sqrt(11).

Пусть SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной S , основанием ABCD и высотой SO , опущенной в точку пересечения диагоналей квадрата ABCD . 1. Найдём площадь основания пирамиды. Так как в основании лежит квадрат со стороной a = 4 , его площадь равна: S_(осн) = a^2 = 4^2 = 16. 2. Найдём половину диагонали основания OA . Диагональ квадрата d вычисляется по формуле d = asqrt(2) = 4sqrt(2) . Тогда: OA = (d)/(2) = (4sqrt(2))/(2) = 2sqrt(2). 3. Из прямоугольного треугольника SOA (где SOA = 90^ ), в котором гипотенузой является боковое ребро SA = 2sqrt(11) , а катетами — высота SO = H и отрезок OA , по теореме Пифагора находим высоту H : SO^2 = SA^2 - OA^2 H^2 = (2sqrt(11))^2 - (2sqrt(2))^2 H^2 = 44 - 8 = 36 H = 6. 4. Вычислим объём пирамиды: V = (1)/(3) * S_(осн) * H = (1)/(3) * 16 * 6 = 32.

32