Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно sqrt(34).

Задача №11321: Задачи по стереометрии

Пусть $S A B C D$ — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной $S$ и основанием $A B C D .$

1. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Его площадь равна:

S_{осн} = 6^{2} = 36

2. Диагональ квадрата $A B C D$ равна:

d = 62

Высота пирамиды $S O$ опускается в точку пересечения диагоналей основания $O .$ Отрезок $A O$ равен половине диагонали:

A O = \frac{d}{2} = \frac{6 2}{2} = 32

3. В прямоугольном треугольнике $S A O$ (где $∠ S O A = 9 0^{\circ}$ ) по теореме Пифагора найдём высоту пирамиды $h = S O :$

S O = S A^{2} - A O^{2} = (34)^{2} - (32)^{2} = 34 - 18 = 16 = 4

4. Вычислим объём пирамиды:

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48