Задача №11321 — Задачи по стереометрии (Математика (база) ЕГЭ)

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно sqrt(34).

Пусть SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной S и основанием ABCD . Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Его площадь равна: S_(осн) = 6^2 = 36 Диагональ квадрата ABCD равна: d = 6sqrt(2) Высота пирамиды SO опускается в точку пересечения диагоналей основания O . Отрезок AO равен половине диагонали: AO = (d)/(2) = (6sqrt(2))/(2) = 3sqrt(2) В прямоугольном треугольнике SAO (где SOA = 90^ ) по теореме Пифагора найдём высоту пирамиды h = SO : SO = sqrt(SA^2 - AO^2) = sqrt((34)^2 - (32)^2) = sqrt(34 - 18) = sqrt(16) = 4 Вычислим объём пирамиды: V = (1)/(3) S_(осн) * h = (1)/(3) * 36 * 4 = 12 * 4 = 48

48