Объём конуса равен 128. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Пусть H — высота исходного конуса, а h — высота меньшего конуса, отсекаемого плоскостью. По условию, плоскость делит высоту в отношении 1:3 , считая от вершины. Это означает, что если расстояние от вершины до секущей плоскости равно x , то расстояние от плоскости до основания равно 3x . Тогда вся высота исходного конуса равна: H = x + 3x = 4x. Следовательно, высота отсечённого конуса составляет: h = x = (1)/(4)H. Так как секущая плоскость параллельна основанию конуса, отсечённый конус подобен исходному конусу с коэффициентом подобия: k = (h)/(H) = (1)/(4). Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: (V_(малого))/(V_(большого)) = k^3 = ((1)/(4))^3 = (1)/(64). Зная, что объём исходного конуса равен 128 , найдём объём отсечённого конуса: V_(малого) = (V_(большого))/(64) = (128)/(64) = 2. Ответ: 2

2