Задача №11273

Объём конуса равен 128. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Пусть $H$ — высота исходного конуса, а $h$ — высота меньшего конуса, отсекаемого плоскостью.

По условию, плоскость делит высоту в отношении $1:3\text{,}$ считая от вершины. Это означает, что если расстояние от вершины до секущей плоскости равно $x\text{,}$ то расстояние от плоскости до основания равно $3x\text{.}$

Тогда вся высота исходного конуса равна:

Следовательно, высота отсечённого конуса составляет:

Так как секущая плоскость параллельна основанию конуса, отсечённый конус подобен исходному конусу с коэффициентом подобия:

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:

Зная, что объём исходного конуса равен $128\text{,}$ найдём объём отсечённого конуса:

Ответ: 2