Задача №11258

Объём прямой призмы равен произведению площади её основания на высоту:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h.$$

В основании призмы лежит прямоугольный треугольник. Пусть один из его катетов равен $a=4\text{,}$ а гипотенуза $c=\sqrt{65}\text{.}$ Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора:

$$a^2+b^2=c^2\Rightarrow 4^2+b^2=(\sqrt{65}{)}^2.$$ $$16+b^2=65\Rightarrow b^2=49\Rightarrow b=7.$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 7=14.$$

Высота призмы равна $h=7\text{.}$ Найдем её объём:

$$V=14\cdot 7=98.$$