Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно sqrt(41) .

Задача №11219: Задачи по стереометрии

Пусть $S A B C D$ — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной $S,$ высота которой равна $S O = h .$

1. Основанием пирамиды является квадрат $A B C D$ со стороной $a = 8 .$ Площадь основания равна:

S_{осн} = a^{2} = 8^{2} = 64.

2. Диагональ квадрата основания $d$ равна:

d = a 2 = 82 .

Половина диагонали $A O$ равна:

A O = \frac{d}{2} = 42 .

3. Из прямоугольного треугольника $S O A$ (где $∠ S O A = 9 0^{\circ}$ ) по теореме Пифагора найдём высоту пирамиды $h = S O :$

S O = S A^{2} - A O^{2}

h = (41)^{2} - (42)^{2} = 41 - 32 = 9 = 3.

4. Вычислим объём пирамиды по формуле:

V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h

V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 3 = 64.

Ответ: 64.