Задача №11218

Пусть высота исходного конуса равна $H\text{,}$ а его объём равен $V\text{.}$

Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает от него меньший конус, подобный исходному. Высота меньшего конуса $h$ относится к высоте оставшейся части как $1:2\text{.}$ Таким образом, высота исходного конуса состоит из $1+2=3$ частей, а высота меньшего конуса составляет $1$ часть.

Коэффициент подобия $k$ меньшего и большего конусов равен отношению их высот:

$$k=\frac{h}{H}=\frac{1}{3}.$$

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:

$$\frac{V_{\text{мал}}}{V}=k^3=(1/3{)}^3=\frac{1}{27}.$$

По условию задачи объём отсекаемого конуса $V_{\text{мал}}=20\text{.}$ Подставим это значение и найдём объём исходного конуса:

$$V=27\cdot V_{\text{мал}}=27\cdot 20=540.$$

Ответ: $540$