Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1 : 2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 20.

Пусть высота исходного конуса равна H , а его объём равен V . Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает от него меньший конус, подобный исходному. Высота меньшего конуса h относится к высоте оставшейся части как 1 : 2 . Таким образом, высота исходного конуса состоит из 1 + 2 = 3 частей, а высота меньшего конуса составляет 1 часть. Коэффициент подобия k меньшего и большего конусов равен отношению их высот: k = (h)/(H) = (1)/(3). Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: (V_(мал))/(V) = k^3 = (1/3)^3 = (1)/(27). По условию задачи объём отсекаемого конуса V_(мал) = 20 . Подставим это значение и найдём объём исходного конуса: V = 27 * V_(мал) = 27 * 20 = 540. Ответ: 540

540