Задача №11198

Пусть $h$ — высота малого конуса, а $H$ — высота исходного (большого) конуса.

По условию плоскость делит высоту конуса в отношении $1:3\text{,}$ считая от вершины. Это означает, что высота малого конуса составляет $1$ часть, а оставшаяся часть высоты — $3$ части. Таким образом, вся высота исходного конуса состоит из $1+3=4$ частей.

Малый конус, отсекаемый плоскостью, подобен исходному конусу. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их высот:

$$k=\frac{h}{H}=\frac{1}{4}.$$

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:

$$\frac{V_{\text{малого}}}{V_{\text{исходного}}}=k^3={\left(\frac{1}{4}\right)}^3=\frac{1}{64}.$$

Зная, что объём отсекаемого конуса равен $10\text{,}$ находим объём исходного конуса:

$$V_{\text{исходного}}=64\cdot V_{\text{малого}}=64\cdot 10=640.$$

Ответ: 640