Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 10.

Пусть h — высота малого конуса, а H — высота исходного (большого) конуса. По условию плоскость делит высоту конуса в отношении 1:3 , считая от вершины. Это означает, что высота малого конуса составляет 1 часть, а оставшаяся часть высоты — 3 части. Таким образом, вся высота исходного конуса состоит из 1 + 3 = 4 частей. Малый конус, отсекаемый плоскостью, подобен исходному конусу. Коэффициент подобия k равен отношению их высот: k = (h)/(H) = (1)/(4). Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: (V_(малого))/(V_(исходного)) = k^3 = ((1)/(4))^3 = (1)/(64). Зная, что объём отсекаемого конуса равен 10 , находим объём исходного конуса: V_(исходного) = 64 * V_(малого) = 64 * 10 = 640. Ответ: 640

640