Задача №11162

Пусть $SABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной $S\text{,}$ основание которой — квадрат $ABCD$ со стороной $a=6\text{,}$ а боковое ребро $SB=\sqrt{43}\text{.}$

1. Найдём площадь основания пирамиды (площадь квадрата):

$$S_{осн}=a^2=6^2=36.$$

2. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD\text{.}$ Тогда $SO$ — высота пирамиды. Диагональ квадрата $BD$ равна:

$$BD=a\sqrt{2}=6\sqrt{2}.$$

Точка $O$ делит диагональ пополам, поэтому:

$$OB=\frac{BD}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}.$$

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$ (угол $\angle SOB=90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

$$S{O}^2+O{B}^2=S{B}^2,$$ $$S{O}^2+(3\sqrt{2}{)}^2=(\sqrt{43}{)}^2,$$ $$S{O}^2+18=43,$$ $$S{O}^2=43-18=25,$$ $$SO=5.$$

4. Вычислим объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{осн}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 5=12\cdot 5=60.$$

Ответ: 60.