Задача №11160

Отсекаемый конус подобен исходному конусу.

Пусть $H$ — высота исходного конуса, а $h$ — высота отсекаемого конуса. По условию плоскость делит высоту конуса в отношении $1:4\text{,}$ считая от вершины. Таким образом, вся высота исходного конуса состоит из $1+4=5$ частей, а высота отсекаемого конуса — из $1$ части.

Отношение высоты отсекаемого конуса к высоте исходного конуса (коэффициент подобия $k$) равно:

$$k=\frac{h}{H}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}.$$

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:

$$\frac{V_{\text{отс}}}{V}=k^3={\left(\frac{1}{5}\right)}^3=\frac{1}{125}.$$

Найдем объём отсекаемого конуса:

$$V_{\text{отс}}=\frac{V}{125}=\frac{1125}{125}=9.$$

Ответ: $9$