Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно sqrt(41) .
Пусть SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной S , основанием которой является квадрат ABCD , а SO — её высота. Площадь основания пирамиды (квадрата со стороной a = 8 ) равна: S_(осн) = a^2 = 8^2 = 64. Найдём диагональ основания AC по теореме Пифагора: AC = asqrt(2) = 8sqrt(2). Точка O является центром основания и делит диагональ пополам: AO = (AC)/(2) = (8sqrt(2))/(2) = 4sqrt(2). Рассмотрим прямоугольный треугольник AOS (высота SO перпендикулярна основанию, следовательно, AOS = 90^ ). По теореме Пифагора найдём высоту пирамиды SO : SO = sqrt(AS^2 - AO^2). Подставим известные значения бокового ребра AS = sqrt(41) и отрезка AO : SO = sqrt((41)^2 - (42)^2) = sqrt(41 - 32) = sqrt(9) = 3. Вычислим объём пирамиды: V = (1)/(3) * S_(осн) * SO = (1)/(3) * 64 * 3 = 64. Ответ: 64.
64
