Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно sqrt(67).

Пусть SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной S, в основании которой лежит квадрат ABCD со стороной a = 6. Боковое ребро пирамиды равно SA = sqrt(67). Высота пирамиды SO опускается в точку O — центр основания (точку пересечения диагоналей квадрата ABCD). 1. Найдём диагональ квадрата основания ABCD: d = AC = asqrt(2) = 6sqrt(2) 2. Точка O делит диагональ пополам, откуда: AO = (AC)/(2) = (6sqrt(2))/(2) = 3sqrt(2) 3. Из прямоугольного треугольника SOA (угол SOA = 90^) по теореме Пифагора найдём высоту h = SO: SO^2 = SA^2 - AO^2 SO^2 = (sqrt(67))^2 - (3sqrt(2))^2 SO^2 = 67 - 18 = 49 SO = sqrt(49) = 7 4. Найдём площадь основания пирамиды: S_(осн) = a^2 = 6^2 = 36 5. Вычислим объём пирамиды по формуле: V = (1)/(3) * S_(осн) * SO = (1)/(3) * 36 * 7 = 12 * 7 = 84. Ответ: 84.

84