Задача №11132

Пусть высота меньшего конуса (отсекаемого плоскостью) равна $h\text{.}$ Так как плоскость делит высоту исходного конуса в отношении $1:3\text{,}$ считая от вершины, то высота оставшейся части равна $3h\text{.}$

Тогда общая высота исходного конуса равна:

$$H=h+3h=4h.$$

Меньший конус подобен исходному конусу с коэффициентом подобия:

$$k=\frac{h}{H}=\frac{h}{4h}=\frac{1}{4}.$$

Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия:

$$\frac{V_{\text{мал}}}{V_{\text{бол}}}=k^3={\left(\frac{1}{4}\right)}^3=\frac{1}{64}.$$

По условию, объём отсекаемого конуса $V_{\text{мал}}=5\text{.}$ Найдём объём исходного конуса:

$$V_{\text{бол}}=64\cdot V_{\text{мал}}=64\cdot 5=320.$$

Ответ: $320\text{.}$