Задача №11131

Боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды состоит из 6 равных равнобедренных треугольников.

Рассмотрим один из таких треугольников. Его основание равно стороне основания пирамиды, то есть $a=10\text{,}$ а боковые стороны равны боковым ребрам пирамиды, то есть $b=13\text{.}$

Проведём высоту (апофему) $h$ в этом треугольнике к его основанию. Высота равнобедренного треугольника также является его медианой, поэтому она делит основание пополам. Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой $13$ и катетом $5\text{.}$

По теореме Пифагора найдем апофему $h\text{:}$

$$h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$$

Площадь одной боковой грани (треугольника) равна:

$$S_{\text{грани}}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12=60$$

Поскольку боковых граней у пирамиды 6, площадь боковой поверхности равна:

$$S_{\text{бок}}=6\cdot S_{\text{грани}}=6\cdot 60=360$$

Ответ: $360$