Задача №11123

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $\sqrt{34}\text{.}$

Объём правильной четырёхугольной пирамиды вычисляется по формуле:

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания пирамиды, $h$ — её высота.

1. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат со стороной $a=6\text{.}$ Найдем его площадь:

2. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $d=a\sqrt{2}\text{.}$ Тогда диагональ основания равна:

Высота пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей квадрата (центр основания). Расстояние от вершины основания до центра основания равно половине диагонали:

$R=\frac{d}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h\text{,}$ боковым ребром $l=\sqrt{34}$ и отрезком $R\text{.}$ По теореме Пифагора найдем высоту:

4. Вычислим объём пирамиды:

Ответ: 48.