Задача №11121

Объём конуса равен 375. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:4\text{,}$ считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Пусть $H$ — высота исходного конуса, а $h$ — высота меньшего конуса, отсекаемого плоскостью.

По условию, точка делит высоту в отношении $1:4\text{,}$ считая от вершины. Значит, высота малого конуса составляет $1$ часть, а оставшаяся часть высоты до основания исходного конуса — $4$ части. Таким образом, полная высота исходного конуса составляет:

Отношение высоты малого конуса к высоте исходного конуса (коэффициент подобия $k$) равно:

Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает от него меньший конус, подобный исходному. Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия:

Зная объём исходного конуса $V_{\text{исходного}}=375\text{,}$ найдём объём отсекаемого конуса:

Ответ: $3\text{.}$