Задача №11114

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ рёбра $DA\text{,}$ $DC$ и диагональ $D{A}_1$ боковой грани равны соответственно 6, 5 и $2\sqrt{10}\text{.}$ Найдите объём параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1\text{.}$

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ боковое ребро $A{A}_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD\text{,}$ следовательно, $A{A}_1\perp AD\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DA{A}_1$ с прямым углом $A\text{.}$ По теореме Пифагора для этого треугольника:

Выразим и найдем длину ребра $A{A}_1\text{:}$

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:

Подставим числовые значения: