Задача №11108

Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат со стороной $a=6\text{.}$ Его диагональ равна $6\sqrt{2}\text{,}$ а половина диагонали (расстояние от центра основания до вершины квадрата) равна $3\sqrt{2}\text{.}$

Высота пирамиды $H$ опущена из вершины в центр основания. Она вместе с половиной диагонали и боковым ребром $l=\sqrt{82}$ образует прямоугольный треугольник, где боковое ребро — гипотенуза:

$$H^2=l^2-(3\sqrt{2}{)}^2=82-18=64.$$

Следовательно:

$$H=8.$$

Площадь основания:

$$S=a^2=6^2=36.$$

Объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}SH=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 8=96.$$

Ответ: 96.