Задача №11102

Радиус основания цилиндра равен $5\text{,}$ а его образующая равна $15\text{.}$ Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное $4\text{.}$ Найдите площадь этого сечения.

Сечение, параллельное оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна из его сторон равна образующей цилиндра, то есть $h=15\text{.}$

Другая сторона сечения является хордой основания цилиндра. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения — это расстояние от центра основания цилиндра до этой хорды, которое равно $d=4\text{.}$

Рассмотрим основание цилиндра. Это круг радиуса $R=5\text{.}$ Проведём перпендикуляр из центра круга к хорде. Этот перпендикуляр делит хорду пополам и имеет длину $d=4\text{.}$

Получаем прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза равна радиусу основания $R=5\text{;}$
• один из катетов равен расстоянию от центра до хорды $d=4\text{;}$
• второй катет равен половине хорды $\frac{a}{2}\text{.}$

По теореме Пифагора найдём половину хорды:

откуда

Таким образом, стороны прямоугольного сечения равны $6$ и $15\text{.}$ Найдём площадь сечения:

Ответ: 90.